Ciągłe odsetki złożone

Odsetki złożone to odsetki naliczane od początkowej kwoty głównej, a także od naliczonych odsetek z poprzednich okresów depozytu lub pożyczki. Wpływ odsetek złożonych zależy od częstotliwości.

Przyjmij roczną stopę procentową w wysokości 12%. Jeśli zaczniemy rok od 100 USD i złożymy tylko raz, pod koniec roku kwota główna wzrośnie do 112 USD (100 USD x 1, 12 = 112 USD). Jeśli zamiast tego policzymy co miesiąc 1%, otrzymamy ponad 112 USD na koniec roku. Oznacza to, że 100 x 1, 01 ^ 12 za 112, 68 $. (Jest wyższy, ponieważ mieszaliśmy się częściej).

Ciągłe składanie zwraca związek najczęściej. Ciągłe mieszanie jest matematycznym ograniczeniem, które mogą osiągnąć odsetki złożone. Jest to skrajny przypadek łączenia, ponieważ większość odsetek jest obliczana co miesiąc, co kwartał lub co pół roku.

Półroczne stopy zwrotu

Najpierw spójrzmy na potencjalnie mylącą konwencję. Na rynku obligacji mamy na myśli rentowność ekwiwalentu obligacji (lub podstawę ekwiwalentu obligacji). Oznacza to, że jeżeli rentowność obligacji wynosi 6% w okresie półrocznym, to jej równowartość rentowności obligacji wynosi 12%.

Zdjęcie Julie Bang © Investopedia 2019

Półroczna wydajność jest po prostu podwojona. Jest to potencjalnie mylące, ponieważ efektywna wydajność 12% równoważnego obligacji z wydajnością wynosi 12, 36% (tj. 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Podwojenie rentowności półrocznej to tylko konwencja nazywania obligacji. Dlatego, jeśli czytamy o 8% obligacji składanej co pół roku, zakładamy, że odnosi się to do 4% półrocznej rentowności.

Kwartalne, miesięczne i dzienne stopy zwrotu

Omówmy teraz wyższe częstotliwości. Nadal zakładamy 12% roczną rynkową stopę procentową. Zgodnie z konwencjami nazewnictwa obligacji oznacza to 6% półroczną stawkę złożoną. Możemy teraz wyrazić kwartalną stopę złożoną jako funkcję rynkowej stopy procentowej.

Zdjęcie Julie Bang © Investopedia 2019

Biorąc pod uwagę roczną stopę rynkową ( r), kwartalną stawkę złożoną ( r _q) podaje:

W pobliżu $\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ begin {wyrównany} i r_q = 4 \ left \\ \ end {wyrównany}$ Rq = 4

Na przykład w przypadku, gdy roczna stopa rynkowa wynosi 12%, kwartalna stawka złożona wynosi 11, 825%:

W pobliżu $\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11.8 2) 5 % \end{matrix} \ begin {wyrównany} i r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \% \\ \ end {wyrównany}$ Rq = 4 ≅ 11, 825%

Zdjęcie Julie Bang © Investopedia 2019

Podobna logika ma zastosowanie do comiesięcznego łączenia. Miesięczna stopa złożona ( r _m ) jest podana tutaj jako funkcja rocznej rynkowej stopy procentowej ( r):

Dzienna stawka złożona ( d) jako funkcja rynkowej stopy procentowej ( r) jest obliczana przez:

W pobliżu $\begin{matrix} r_{re} & = 3) 60 \\ = 3) 60 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ początek {wyrównany} r_d i = 360 \ lewy \\ & = 360 \ lewy \\ & \ cong 11.66 \% \\ \ end {wyrównany}$ rd = 360 = 360≅ 11, 66%

Jak działa ciągłe mieszanie

Zdjęcie Julie Bang © Investopedia 2019

Jeśli zwiększymy częstotliwość złożoną do jej limitu, ciągle się komplikujemy. Chociaż może to nie być praktyczne, stale podwyższana stopa procentowa oferuje niezwykle dogodne właściwości. Okazuje się, że stale składaną stopę procentową podaje:

W pobliżu $\begin{matrix} r_{do o n t ja n u o u s} = \ln (1 + r) \end{matrix} \ początek {wyrównany} i r_ {ciągły} = \ ln (1 + r) \ \ end {wyrównany}$ R ciągłe = ln (1 + r)

Ln () jest logarytmem naturalnym, dlatego w naszym przykładzie stale składana szybkość wynosi:

W pobliżu $\begin{matrix} r_{do o n t ja n u o u s} = \ln (1 + 0.1 2)) = \ln (1.1 2)) ≅ 11 . 3) 3) % \end{matrix} \ początek {wyrównany} i r_ {ciągły} = \ ln (1 + 0, 12) = \ ln (1, 12) cong 11, 33 \% \\ \ end {wyrównany}$ R ciągłe = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12) ≅ 11, 33%

Docieramy do tego samego miejsca, przyjmując logarytm naturalny tego współczynnika: wartość końcową podzieloną przez wartość początkową.

W pobliżu $\begin{matrix} r_{do o n t ja n u o u s} = \ln (\frac{{Wartość}_{Koniec}}{{Wartość}_{Początek}}) = \ln (\frac{11 2)}{100}) ≅ 11 . 3) 3) % \end{matrix} \ początek {wyrównany} i r_ {ciągły} = \ ln \ left ( frac { text {Wartość} _ \ text {End}} { text {Wartość} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ left ( frac {112} {100} right) cong 11, 33 \% \\ \ end {wyrównany}$ R ciągłe = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅ 11, 33%

To ostatnie jest powszechne przy obliczaniu stale rosnącego zwrotu z zapasów. Na przykład, jeśli zapasy wzrosną z 10 USD w ciągu jednego dnia do 11 USD w dniu następnym, stale zwiększany dzienny zwrot jest obliczany przez:

W pobliżu $\begin{matrix} r_{do o n t ja n u o u s} = \ln (\frac{{Wartość}_{Koniec}}{{Wartość}_{Początek}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.5 3) % \end{matrix} \ początek {wyrównany} i r_ {ciągły} = \ ln \ left ( frac { text {Wartość} _ \ text {End}} { text {Wartość} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ left ( frac { $ 11} { $ 10} right) cong 9.53 \% \\ \ end {wyrównany}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (10 USD 11 USD).5 9, 53%

Co jest takiego wspaniałego w ciągle składanej stopie (lub stopie zwrotu), którą oznaczymy za pomocą rc? Po pierwsze, łatwo go skalować do przodu. Biorąc pod uwagę zasadę (P), nasze ostateczne bogactwo w ciągu (n) lat daje:

W pobliżu $\begin{matrix} w = P. {mi}^{r_{do} n} \end{matrix} \ begin {wyrównany} i w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {wyrównany}$ W = Perc n

Zauważ, że e jest funkcją wykładniczą. Na przykład, jeśli zaczniemy od 100 $ i stale zwiększamy o 8% w ciągu trzech lat, ostateczne bogactwo daje:

W pobliżu $\begin{matrix} w = $ 100 {mi}^{(0.08) (3))} = $ 1 2) 7.1 2) \end{matrix} \ begin {wyrównany} i w = \ $ 100e ^ {(0, 08) (3)} = \ 127, 12 $ \\ \ end {wyrównany}$ W = 100 USD (0, 08) (3) = 127, 12 USD

Dyskontowanie do wartości bieżącej (PV) polega jedynie na odwróceniu , więc wartość bieżącą przyszłej wartości (F) mierzonej w sposób ciągły z szybkością ( r _c) daje:

W pobliżu $\begin{matrix} PV F otrzymane w (n) latach = \frac{fa}{{mi}^{r_{do} n}} = fa {mi}^{- r_{do} n} \end{matrix} \ begin {wyrównane} i \ text {PV otrzymane za (n) lat} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {wyrównany}$ PV F otrzymane w (n) latach = erc nF = Fe r rc n

Na przykład, jeśli zamierzasz otrzymać 100 USD w ciągu trzech lat przy stałej stawce 6%, jego bieżącą wartość podaje:

W pobliżu $\begin{matrix} PV = fa {mi}^{- r_{do} n} = ($ 100) {mi}^{- (0.06) (3))} = $ 100 {mi}^{- 0.18} ≅ $ 8 3) . 5 3) \end{matrix} \ begin {wyrównany} i \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( 100 $) e ^ {- (0, 06) (3)} = \ 100 e ^ {-0, 18} cong \ 83, 53 $ \\ \ end {wyrównany}$ PV = Fe-rc n = (100 USD) e- (0, 06) (3) = 100 e-0, 18≅ 83, 53 USD

Skalowanie w wielu okresach

Wygodną właściwością ciągłych zwrotów jest to, że skaluje się w wielu okresach. Jeśli zwrot za pierwszy okres wynosi 4%, a zwrot za drugi okres wynosi 3%, wówczas zwrot za dwa okresy wynosi 7%. Rozważmy, że rozpoczynamy rok od 100 USD, która rośnie do 120 USD na koniec pierwszego roku, a następnie do 150 USD na koniec drugiego roku. Stale składane zyski wynoszą odpowiednio 18, 23% i 22, 31%.

W pobliżu $\begin{matrix} \ln (\frac{1 2) 0}{100}) ≅ 18 . 2) 3) % \end{matrix} \ początek {wyrównany} i \ ln \ lewy ( frac {120} {100} prawy) cong 18, 23 \% \\ \ end {wyrównany}$ W (100120) ≅ 18, 23%

W pobliżu $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{1 2) 0}) ≅ 2) 2) . 3) 1 % \end{matrix} \ początek {wyrównany} i \ ln \ lewy ( frac {150} {120} prawy) cong 22, 31 \% \\ \ end {wyrównany}$ Ln (120150) ≅22, 31%

Po prostu dodając je razem, otrzymamy 40, 55%. Oto zwrot z dwóch okresów:

W pobliżu $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ początek {wyrównany} i \ ln \ lewy ( frac {150} {100} prawy) cong 40.55 \% \\ \ end {wyrównany}$ Ln (100150) ≅40, 55%

Technicznie rzecz biorąc, ciągły powrót jest zgodny z czasem. Spójność czasowa jest technicznym wymogiem dla wartości zagrożonej (VAR). Oznacza to, że jeśli zwrot z pojedynczego okresu jest normalnie rozmieszczoną zmienną losową, chcemy, aby zmienne losowe z wielu okresów również były normalnie rozłożone. Co więcej, wielomiesięczny ciągły złożony zwrot jest zwykle rozkładany (w przeciwieństwie do, powiedzmy, prosty procentowy zwrot).

Dolna linia

Możemy przeformułować roczne stopy procentowe na półroczne, kwartalne, miesięczne lub dzienne stopy procentowe (lub stopy zwrotu). Najczęstszym składaniem jest składanie ciągłe, które wymaga od nas używania logarytmu naturalnego i funkcji wykładniczej, która jest powszechnie stosowana w finansach ze względu na jego pożądane właściwości - łatwo się skaluje w wielu okresach i jest spójna czasowo.

Spisu treści:

Półroczne stopy zwrotu

Kwartalne, miesięczne i dzienne stopy zwrotu

Jak działa ciągłe mieszanie

Skalowanie w wielu okresach

Dolna linia

Wybór redaktorów