Inwestorzy lubią koncentrować się na obietnicy wysokich zwrotów, ale powinni również zapytać, jakie ryzyko muszą ponieść w zamian za te zwroty. Chociaż często mówimy o ryzyku w sensie ogólnym, istnieją również formalne wyrażenia relacji ryzyko-nagroda. Na przykład wskaźnik Sharpe'a mierzy nadwyżkę zwrotu na jednostkę ryzyka, gdzie ryzyko oblicza się jako zmienność, która jest tradycyjną i popularną miarą ryzyka. Jego właściwości statystyczne są dobrze znane i zasila kilka struktur, takich jak nowoczesna teoria portfela i model Blacka-Scholesa., badamy zmienność, aby zrozumieć jej zastosowania i ograniczenia.
Annualizowane odchylenie standardowe
W przeciwieństwie do implikowanej zmienności - która należy do teorii wyceny opcji i jest prognozą prognozującą opartą na konsensusie rynkowym - regularna zmienność wygląda wstecz. W szczególności jest to roczne odchylenie standardowe zwrotów historycznych.
Tradycyjne ramy ryzyka oparte na odchyleniu standardowym ogólnie zakładają, że zwroty są zgodne z normalnym rozkładem w kształcie dzwonu. Normalne rozkłady dają nam przydatne wskazówki: około dwie trzecie czasu (68, 3%), zwroty powinny mieścić się w jednym odchyleniu standardowym (+/-); i 95% czasu, zwroty powinny mieścić się w dwóch standardowych odchyleniach. Dwie cechy normalnego wykresu rozkładu to wąskie „ogony” i idealna symetria. Chude ogony implikują bardzo niskie występowanie (około 0, 3% czasu) zwrotów, które są o więcej niż trzy standardowe odchylenia od średniej. Symetria implikuje, że częstotliwość i wielkość zysków dodatnich jest lustrzanym odbiciem strat ujemnych.
ZOBACZ: Wpływ zmienności na zwrot z rynku
W związku z tym tradycyjne modele traktują wszelką niepewność jako ryzyko, niezależnie od kierunku. Jak pokazało wiele osób, jest to problem, jeśli zwroty nie są symetryczne - inwestorzy martwią się o swoje straty „na lewo” średniej, ale nie martwią się o zyski na prawo od średniej.
Ilustrujemy to dziwactwo poniżej dwoma fikcyjnymi akcjami. Spadający zapas (niebieska linia) jest całkowicie pozbawiony dyspersji, a zatem powoduje zmienność równą zero, ale rosnący zapas - ponieważ wykazuje kilka wstrząsów wzrostowych, ale nie jedną kroplę - powoduje zmienność (odchylenie standardowe) wynoszącą 10%.
Właściwości teoretyczne
Na przykład, gdy obliczamy zmienność dla indeksu S&P 500 na dzień 31 stycznia 2004 r., Otrzymujemy gdziekolwiek od 14, 7% do 21, 1%. Dlaczego taki zasięg? Ponieważ musimy wybrać zarówno interwał, jak i okres historyczny. Jeśli chodzi o odstępy czasu, moglibyśmy zbierać serię miesięcznych, tygodniowych lub dziennych (nawet śróddziennych) zwrotów. A nasza seria zwrotów może obejmować okres historyczny dowolnej długości, na przykład trzy lata, pięć lat lub 10 lat. Poniżej obliczyliśmy standardowe odchylenie zwrotów dla S&P 500 w okresie 10 lat, przy użyciu trzech różnych przedziałów:
Zauważ, że zmienność rośnie wraz ze wzrostem odstępu, ale nie jest prawie proporcjonalna: tygodniowy nie jest prawie pięciokrotnie większy niż dzienna, a miesięczny nie jest prawie czterokrotnie tygodniowy. Doszliśmy do kluczowego aspektu teorii chodzenia losowego: standardowych skal odchyleń (wzrostów) proporcjonalnie do pierwiastka kwadratowego czasu. Dlatego jeśli dzienne odchylenie standardowe wynosi 1, 1%, a jeśli w ciągu roku jest 250 dni handlowych, roczne odchylenie standardowe to dzienne odchylenie standardowe 1, 1% pomnożone przez pierwiastek kwadratowy z 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%). Wiedząc o tym, możemy annualizować roczne odchylenia standardowe dla S&P 500, mnożąc przez pierwiastek kwadratowy z liczby interwałów w roku:
Kolejna teoretyczna właściwość zmienności może cię zaskoczyć: eroduje zwroty. Wynika to z kluczowego założenia pomysłu na losowy spacer: zwroty wyrażane są w procentach. Wyobraź sobie, że zaczynasz od 100 $, a następnie zyskujesz 10%, aby uzyskać 110 $. Następnie tracisz 10%, co daje ci 99 USD (110 USD x 90% = 99 USD). Następnie ponownie zyskujesz 10%, do 108, 90 $ netto (99 $ x 110% = 108, 9 $). Wreszcie tracisz 10% do 98, 01 USD netto. Może to być sprzeczne z intuicją, ale twoja zasada powoli ulega erozji, mimo że twój średni zysk wynosi 0%!
Jeśli na przykład oczekujesz średniego rocznego przyrostu w wysokości 10% rocznie (tj. Średniej arytmetycznej), okazuje się, że twój długoterminowy oczekiwany wzrost wynosi mniej niż 10% rocznie. W rzeczywistości zostanie zmniejszona o około połowę wariancji (gdzie wariancja jest odchyleniem standardowym do kwadratu). W czystej hipotetyce poniżej zaczynamy od 100 USD, a następnie wyobrażamy sobie pięć lat zmienności, a kończymy na 157 USD:
Średnie roczne zwroty w ciągu pięciu lat wyniosły 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), ale złożona roczna stopa wzrostu (CAGR lub zwrot geometryczny) wynosi dokładniejsza miara zrealizowanego zysku i wyniosła tylko 9, 49%. Zmienność pogorszyła wynik, a różnica wynosi około połowy wariancji 1, 1%. Te wyniki nie pochodzą z historycznego przykładu, ale pod względem oczekiwań, biorąc pod uwagę standardowe odchylenie od σ (wariancja jest kwadratem odchylenia standardowego), σ2 i oczekiwany średni zysk μ oczekiwany roczny zwrot wynosi około μ− (σ2 ÷ 2).
Czy zwroty zachowują się dobrze?
Teoretyczne ramy są bez wątpienia eleganckie, ale zależą od dobrze wychowanych zwrotów. Mianowicie rozkład normalny i losowy spacer (tj. Niezależność od jednego okresu do drugiego). Jak to się ma do rzeczywistości? Zebraliśmy codzienne zwroty w ciągu ostatnich 10 lat dla S&P 500 i Nasdaq poniżej (około 2500 codziennych obserwacji):
Jak można się spodziewać, zmienność Nasdaq (roczne odchylenie standardowe 28, 8%) jest większa niż zmienność S&P 500 (roczne odchylenie standardowe na poziomie 18, 1%). Możemy zaobserwować dwie różnice między rozkładem normalnym a rzeczywistymi zwrotami. Po pierwsze, rzeczywiste zwroty mają wyższe szczyty - co oznacza większą przewagę zwrotów w pobliżu średniej. Po drugie, rzeczywiste zwroty mają grubsze ogony. (Nasze ustalenia w pewnym stopniu pokrywają się z szerszymi badaniami akademickimi, które również mają tendencję do znajdowania wysokich szczytów i grubych ogonów; technicznym terminem na to jest kurtoza). Powiedzmy, że uważamy minus trzy odchylenia standardowe za dużą stratę: S&P 500 doświadczył codziennej straty minus trzy odchylenia standardowe w około -3, 4% przypadków. Krzywa normalna przewiduje, że taka strata wystąpiłaby około trzy razy w ciągu 10 lat, ale w rzeczywistości zdarzyła się 14 razy!
Są to rozkłady oddzielnych zwrotów interwałowych, ale co teoria mówi o zwrotach w czasie? Jako test przyjrzyjmy się faktycznym dziennym rozkładom S&P 500 powyżej. W tym przypadku średni roczny zwrot (w ciągu ostatnich 10 lat) wyniósł około 10, 6%, a jak wspomniano, zmienność roczna wyniosła 18, 1%. Tutaj przeprowadzamy hipotetyczną próbę, zaczynając od 100 USD i trzymając ją przez 10 lat, ale co roku wystawiamy inwestycję na losowy wynik, który wynosił średnio 10, 6% przy standardowym odchyleniu 18, 1%. Ta próba została wykonana 500 razy, co czyni ją tak zwaną symulacją Monte Carlo. Ostateczne wyniki cenowe 500 prób przedstawiono poniżej:
Rozkład normalny jest pokazany jako tło wyłącznie w celu podkreślenia bardzo nietypowych wyników cenowych. Z technicznego punktu widzenia ostateczne wyniki cenowe są logarytmiczne (co oznacza, że gdyby oś x została przekonwertowana na logarytm naturalny x, rozkład wyglądałby bardziej normalnie). Chodzi o to, że kilka wyników cenowych znajduje się po prawej stronie: z 500 prób, sześć wyników przyniosło wynik końcowy w wysokości 700 USD! Te cenne wyniki udało się zarobić średnio ponad 20%, każdego roku, w ciągu 10 lat. Po lewej stronie, ponieważ malejące saldo zmniejsza skumulowane skutki strat procentowych, otrzymaliśmy jedynie garść ostatecznych wyników, które były mniejsze niż 50 USD. Podsumowując trudny pomysł, możemy powiedzieć, że zwroty przedziałowe - wyrażone w procentach - są zwykle rozkładane, ale ostateczne wyniki cen są rozkładane logarytmicznie.
ZOBACZ: Modele wielowymiarowe: Analiza Monte Carlo
Wreszcie, inne odkrycie naszych prób jest spójne z „efektami erozyjnymi” zmienności: jeśli Twoja inwestycja zarabia dokładnie dokładnie średnią każdego roku, na koniec posiadasz około 273 USD (10, 6% powiększone w ciągu 10 lat). Ale w tym eksperymencie nasz ogólny oczekiwany zysk był bliższy 250 USD. Innymi słowy, średni (arytmetyczny) roczny przyrost wyniósł 10, 6%, ale skumulowany (geometryczny) przyrost był mniejszy.
Należy pamiętać, że nasza symulacja zakłada losowy spacer: zakłada, że powrót z jednego okresu do drugiego jest całkowicie niezależny. Nie udowodniliśmy tego w żaden sposób i nie jest to trywialne założenie. Jeśli uważasz, że zwroty podążają za trendami, technicznie twierdzisz, że wykazują dodatnią korelację szeregową. Jeśli uważasz, że powracają do średniej, to technicznie mówisz, że wykazują ujemną korelację szeregową. Żadna z tych postaw nie jest zgodna z niezależnością.
Dolna linia
Zmienność jest rocznym odchyleniem standardowym zwrotów. W tradycyjnych ramach teoretycznych nie tylko mierzy ryzyko, ale ma wpływ na oczekiwane zyski długoterminowe (z wielu okresów). W związku z tym prosi nas o zaakceptowanie wątpliwych założeń, że zwroty interwałowe są zwykle rozłożone i niezależne. Jeśli te założenia są prawdziwe, wysoka zmienność jest mieczem obosiecznym: niweczy oczekiwany długoterminowy zwrot (zmniejsza średnią arytmetyczną do średniej geometrycznej), ale daje także większe szanse na uzyskanie kilku dużych zysków.
ZOBACZ: Implikowana zmienność: Kupuj taniej i sprzedawaj wysoko
