Definicja relacji liniowej

Co to jest relacja liniowa?

Zależność liniowa (lub powiązanie liniowe) jest terminem statystycznym stosowanym do opisania relacji między zmienną a stałą. Zależności liniowe można wyrazić albo w formacie graficznym, w którym zmienna i stała są połączone linią prostą, albo w formacie matematycznym, w którym zmienna niezależna jest mnożona przez współczynnik nachylenia, dodawany przez stałą, która określa zmienną zależną.

Relację liniową można skontrastować z relacją wielomianową lub nieliniową (zakrzywioną).

Kluczowe dania na wynos

Zależność liniowa (lub asocjacja liniowa) jest terminem statystycznym stosowanym do opisania prostej linii między zmienną a stałą. Zależności liniowe można wyrazić w formacie graficznym lub jako równanie matematyczne w postaci y = mx + b Relacje liniowe są dość powszechne w życiu codziennym.

Równanie liniowe to:

Matematycznie relacja liniowa to taka, która spełnia równanie:

W pobliżu $\begin{matrix} y = m x + b \\ gdzie: \\ m = nachylenie \\ b = przechwytywanie y \end{matrix} \ początek {wyrównany} i y = mx + b \\ & \ textbf {gdzie:} \ & m = \ text {nachylenie} \ & b = \ text {przechwyt-y} \ \ end {wyrównany}$ Y = mx + bwhere: m = slopeb = przecięcie y

W tym równaniu „x” i „y” to dwie zmienne powiązane parametrami „m” i „b”. Graficznie, y = mx + b wykreśla w płaszczyźnie xy jako linię o nachyleniu „m” i przecięciu y „b”. Przecięcie y „b” jest po prostu wartością „y”, gdy x = 0. Nachylenie „m” oblicza się z dwóch dowolnych punktów (x ₁, y ₁) i (x ₂, y ₂) jako:

W pobliżu $m = \frac{(y_{2)} - y_{1})}{(x_{2)} - x_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ m = (x2 −x1) (y2 −y1)

Zależność liniowa

Co mówi ci związek liniowy?

Istnieją trzy zestawy niezbędnych kryteriów, które równanie musi spełnić, aby kwalifikować się jako liniowe: równanie wyrażające zależność liniową nie może składać się z więcej niż dwóch zmiennych, wszystkie zmienne w równaniu muszą być do pierwszej potęgi, a równanie musi być przedstawione jako linia prosta.

Funkcja liniowa w matematyce to taka, która spełnia właściwości addytywności i jednorodności. Funkcje liniowe również przestrzegają zasady superpozycji, która stwierdza, że produkcja netto dwóch lub więcej danych wejściowych jest równa sumie wyników poszczególnych danych wejściowych. Powszechnie stosowaną relacją liniową jest korelacja, która opisuje, w jaki sposób jedna zmienna zmienia się liniowo na zmiany w innej zmiennej.

W ekonometrii regresja liniowa jest często stosowaną metodą generowania zależności liniowych w celu wyjaśnienia różnych zjawisk. Jednak nie wszystkie relacje są liniowe. Niektóre dane opisują zakrzywione relacje (takie jak relacje wielomianowe), a jeszcze innych danych nie można sparametryzować.

Funkcje liniowe

Matematycznie podobna do relacji liniowej jest koncepcja funkcji liniowej. W jednej zmiennej można zapisać funkcję liniową w następujący sposób:

W pobliżu $\begin{matrix} fa (x) = m x + b \\ gdzie: \\ m = nachylenie \\ b = przechwytywanie y \end{matrix} \ begin {wyrównany} i f (x) = mx + b \\ & \ textbf {gdzie:} \ & m = \ text {nachylenie} \ & b = \ text {przechwyt-y} \ \ end {wyrównany}$ F (x) = mx + bwhere: m = slopeb = przecięcie y

Jest to identyczne z podanym wzorem dla zależności liniowej, z tym wyjątkiem, że zamiast y użyto symbolu f (x) . Podstawienie to ma na celu podkreślenie znaczenia, że x jest odwzorowany na f (x), podczas gdy użycie y oznacza po prostu, że xiy są dwiema wielkościami, powiązanymi przez A i B.

W badaniu algebry liniowej właściwości funkcji liniowych są szeroko badane i rygorystyczne. Biorąc pod uwagę skalar C i dwa wektory A i B z R ^N, najbardziej ogólna definicja funkcji liniowej stwierdza, że: $do \times fa (ZA + b) = do \times fa (ZA) + do \times fa (b) c \ razy f (A + B) = c \ razy f (A) + c \ razy f (B)$ c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Przykłady relacji liniowych

Przykład 1

Relacje liniowe są dość powszechne w życiu codziennym. Weźmy na przykład pojęcie prędkości. Wzór, którego używamy do obliczania prędkości, jest następujący: prędkość jest odległością przebytą w czasie. Jeśli ktoś w białej furgonetce Chrysler Town and Country z 2007 r. Podróżuje między Sacramento i Marysville w Kalifornii, na autostradzie 99 o długości 41, 3 mili, a podróż trwa 40 minut, podróżuje ona z prędkością nieco poniżej 60 km / h.

Chociaż w tym równaniu są więcej niż dwie zmienne, nadal jest to równanie liniowe, ponieważ jedna ze zmiennych zawsze będzie stała (odległość).

Przykład 2

Zależność liniową można również znaleźć w równaniu odległość = częstość x czas. Ponieważ odległość jest liczbą dodatnią (w większości przypadków), ta liniowa zależność byłaby wyrażona w prawym górnym kwadrancie wykresu z osią X i Y.

Jeśli rower stworzony dla dwóch osób jedzie z prędkością 30 mil na godzinę przez 20 godzin, jeździec ostatecznie przejedzie 600 mil. Przedstawiona graficznie z odległością na osi Y i czasem na osi X, linia śledząca odległość w ciągu tych 20 godzin wyruszyłaby prosto z zbieżności osi X i Y.

Przykład 3

Aby przekonwertować stopnie Celsjusza na stopnie Fahrenheita lub stopnie Fahrenheita na stopnie Celsjusza, użyj poniższych równań. Te równania wyrażają zależność liniową na wykresie:

W pobliżu $° do = \frac{5}{9} (° fa - 3) 2)) \ stopień C = \ frac {5} {9} ( stopień F - 32)$ ° C = 95 (° F − 32)

W pobliżu $° fa = \frac{9}{5} (° do + 3) 2)) \ stopień F = \ frac {9} {5} ( stopień C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

Przykład 4

Załóżmy, że zmienną niezależną jest wielkość domu (mierzona na podstawie metrażu kwadratowego), która określa cenę rynkową domu (zmienna zależna), gdy jest ona pomnożona przez współczynnik nachylenia 207, 65, a następnie jest dodawana do stałego terminu 10 500 USD. Jeśli powierzchnia domu wynosi 1250, wartość rynkowa domu wynosi (1250 x 207, 65) + 10500 USD = 270 062, 50 USD. Graficznie i matematycznie wygląda następująco:

W tym przykładzie wraz ze wzrostem wielkości domu wartość rynkowa domu wzrasta w sposób liniowy.

Niektóre liniowe relacje między dwoma obiektami można nazwać „stałą proporcjonalności”. Ten związek wygląda jak

W pobliżu $\begin{matrix} Y = k \times X \\ gdzie: \\ k = stały \\ Y, X = ilości proporcjonalne \end{matrix} \ begin {wyrównany} i Y = k \ razy X \\ & \ textbf {gdzie:} \ & k = \ text {stały} \ & Y, X = \ text {wielkości proporcjonalne} \ \ end {wyrównany}$ Y = k × X gdzie: k = stała Y, X = wielkości proporcjonalne

Podczas analizy danych behawioralnych rzadko istnieje idealna liniowa zależność między zmiennymi. Linie trendu można jednak znaleźć w danych, które tworzą zgrubną wersję zależności liniowej. Na przykład możesz spojrzeć na sprzedaż lodów i liczbę wizyt w szpitalu jako dwie zmienne na wykresie i znaleźć liniową zależność między nimi.

Spisu treści: