Wycena opcji może być trudnym przedsięwzięciem. Zastanów się nad następującym scenariuszem: w styczniu 2015 r. Cena akcji IBM wyniosła 155 USD i oczekiwano, że w ciągu następnego roku wzrośnie. Zamierzasz kupić opcję kupna akcji IBM z ceną wykonania ATM w wysokości 155 USD, oczekując, że skorzystasz z wysokiego procentowego zwrotu, opartego na niskim koszcie opcji (premia za opcję), w porównaniu do zakupu akcji z wysoką ceną zakupu.
Jaka powinna być wartość godziwa tej opcji call w IBM?
Obecnie dostępnych jest kilka różnych gotowych metod wyceny opcji - w tym model Blacka-Scholesa i model drzewa dwumianowego - które mogą zapewnić szybkie odpowiedzi. Ale jakie są podstawowe czynniki i koncepcje napędzające do opracowania takich modeli wyceny? Czy można przygotować coś podobnego w oparciu o koncepcję tych modeli?
Omówimy tutaj elementy składowe, podstawowe koncepcje i czynniki, które można wykorzystać jako ramy do budowy modelu wyceny aktywów, takich jak opcje, zapewniając porównanie obok początków Black-Scholesa (BS) Model.
Świat przed Black-Scholesem
Przed Black-Scholesem powszechnie stosowano model wyceny kapitału (CAPM) oparty na równowadze. Zwroty i ryzyko zostały zrównoważone ze sobą, w oparciu o preferencje inwestora, tj. Oczekiwano, że inwestor podejmujący wysokie ryzyko zostanie zrekompensowany (potencjalnie) wyższymi zwrotami w podobnej proporcji.
Model BS ma swoje korzenie w CAPM. Według Fishera Blacka: „Zastosowałem Model wyceny aktywów kapitałowych w każdym momencie życia warrantu, dla każdej możliwej ceny akcji i wartości warrantu.” Niestety, CAPM nie był w stanie spełnić wymogu wyceny warrantu (opcji).
Black-Scholes pozostaje pierwszym modelem opartym na koncepcji arbitrażu, który zmienia paradygmat od modeli opartych na ryzyku (takich jak CAPM). Ten nowy model BS zastąpił koncepcję zwrotu akcji CAPM uznaniem, że doskonale zabezpieczona pozycja zyska stopę wolną od ryzyka. To wyeliminowało warianty ryzyka i zwrotu oraz ustanowiło koncepcję arbitrażu, w której wyceny są przeprowadzane przy założeniu koncepcji neutralnej dla ryzyka - zabezpieczona (wolna od ryzyka) pozycja powinna prowadzić do stopy zwrotu wolnej od ryzyka.
Rozwój Black-Scholesa
Zacznijmy od ustalenia problemu, kwantyfikacji go i opracowania ram dla jego rozwiązania. Kontynuujemy nasz przykład dotyczący wyceny opcji kupna w bankomatach na IBM z ceną wykonania 155 USD z rocznym terminem wygaśnięcia.
Na podstawie podstawowej definicji opcji kupna, o ile cena akcji nie osiągnie poziomu ceny wykonania, wypłata pozostaje zerowa. Po tym poziomie wypłata rośnie liniowo (tj. Wzrost wartości instrumentu bazowego o jeden dolar zapewni wypłatę jednego dolara z opcji kupna).
Zakładając, że kupujący i sprzedający zgadzają się co do wyceny według wartości godziwej (w tym ceny zerowej), teoretyczna uczciwa cena dla tej opcji kupna wynosi:
- Cena opcji kupna = 0 USD, jeśli instrument bazowy <strajk (czerwony wykres) Cena opcji kupna = (instrument bazowy - strajk), jeśli instrument bazowy> = strajk (niebieski wykres)
To reprezentuje wartość wewnętrzną opcji i wygląda idealnie z punktu widzenia nabywcy opcji kupna. W czerwonym regionie zarówno kupujący, jak i sprzedający mają uczciwą wycenę (zerowa cena dla sprzedającego, zerowa wypłata dla nabywcy). Wyzwanie związane z wyceną zaczyna się jednak od niebieskiego regionu, ponieważ kupujący ma przewagę w postaci dodatniej wypłaty, podczas gdy sprzedawca ponosi stratę (pod warunkiem, że cena bazowa przekroczy cenę wykonania). Tutaj kupujący ma przewagę nad sprzedawcą przy zerowej cenie. Ceny muszą być niezerowe, aby zrekompensować sprzedawcy ryzyko, które podejmuje.
W pierwszym przypadku (czerwony wykres) teoretycznie sprzedawca otrzymuje zerową cenę, a nabywca nie ma żadnej potencjalnej korzyści (sprawiedliwej dla obu stron). W tym drugim przypadku (niebieski wykres) różnica między instrumentem bazowym a ostrzeżeniem ma zostać zapłacona przez sprzedającego kupującemu. Ryzyko sprzedawcy rozciąga się na cały rok. Na przykład bazowa cena akcji może wzrosnąć bardzo wysoko (powiedzmy do 200 USD za cztery miesiące), a sprzedawca musi zapłacić kupującemu różnicę 45 USD.
Sprowadza się zatem do:
- Czy cena instrumentu bazowego przekroczy cenę wykonania? Jeśli tak, to jak wysoka może być cena bazowa (ponieważ to określi wypłatę dla kupującego)?
Wskazuje to na duże ryzyko podejmowane przez sprzedawcę, co prowadzi do pytania - dlaczego ktoś miałby sprzedawać takie połączenie, jeśli nie dostanie nic za ryzyko, które podejmuje?
Naszym celem jest ustalenie jednej ceny, którą sprzedawca powinien obciążyć kupującego, co może zrekompensować mu całkowite ryzyko, jakie podejmuje przez rok - zarówno w regionie zerowej płatności (czerwony), jak i w liniowym regionie płatności (niebieski). Cena powinna być uczciwa i akceptowalna zarówno dla kupującego, jak i sprzedającego. Jeśli nie, to ten, kto jest w niekorzystnej sytuacji, jeśli chodzi o płacenie lub otrzymywanie nieuczciwej ceny, nie będzie uczestniczył w rynku, co w ten sposób przeczy celowi działalności handlowej. Model Blacka-Scholesa ma na celu ustalenie tej uczciwej ceny, biorąc pod uwagę stałą zmienność ceny akcji, wartość pieniądza w czasie, cenę wykonania opcji i czas do wygaśnięcia opcji. Podobnie do modelu BS, zobaczmy, jak możemy podejść do oceny tego w naszym przykładzie przy użyciu własnych metod.
Jak oszacować wartość wewnętrzną w niebieskim regionie?
Dostępnych jest kilka metod przewidywania oczekiwanego ruchu cen w przyszłości w danych ramach czasowych:
- Można analizować podobne ruchy cen o tym samym czasie trwania w niedawnej przeszłości. Historyczna cena zamknięcia IBM wskazuje, że w ciągu ostatniego roku (2 stycznia 2014 r. Do 31 grudnia 2014 r.) Cena spadła do 160, 44 USD z 185, 53 USD, co oznacza spadek o 13, 5%. Czy możemy założyć ruch cenowy w wysokości -13, 5% dla IBM? Dalsza szczegółowa kontrola wskazuje, że osiągnęła najwyższy roczny poziom 199, 21 USD (10 kwietnia 2014 r.) I roczny najniższy poziom 150, 5 USD (16 grudnia 2014 r.). Na podstawie tych danych w dniu początkowym, 2 stycznia 2014 r., Oraz cenie zamknięcia wynoszącej 185, 53 USD, zmiana procentowa waha się od + 7, 37% do -18, 88%. Teraz zakres zmian wydaje się znacznie szerszy w porównaniu do wcześniej obliczonego spadku o 13, 5%.
Podobne analizy i obserwacje danych historycznych mogą być kontynuowane. Aby kontynuować rozwój naszego modelu wyceny, przyjmijmy tę prostą metodologię do oceny przyszłych wahań cen.
Załóżmy, że IBM rośnie o 10% każdego roku (na podstawie danych historycznych z ostatnich 20 lat). Podstawowe statystyki wskazują, że prawdopodobieństwo zmiany ceny akcji IBM w okolicach + 10% będzie znacznie wyższe niż prawdopodobieństwo wzrostu ceny IBM o 20% lub spadku o 30%, przy założeniu, że wzorce historyczne się powtarzają. Gromadząc podobne punkty danych historycznych z wartościami prawdopodobieństwa, ogólny oczekiwany zwrot z ceny akcji IBM w rocznym okresie czasu można obliczyć jako średnią ważoną prawdopodobieństw i powiązanych zwrotów. Załóżmy na przykład, że historyczne dane cenowe IBM wskazują następujące ruchy:
- (-10%) w 25% razy, + 10% w 35% razy, + 15% w 20% razy, + 20% w 10% razy, + 25% w 5% razy i (-15%) w 5% razy.
Dlatego średnia ważona (lub wartość oczekiwana) dochodzi do:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
Oznacza to, że średnio oczekuje się, że cena akcji IBM zwróci + 6, 5% w ciągu roku za każdego dolara. Jeśli ktoś kupi akcje IBM z rocznym horyzontem i ceną zakupu w wysokości 155 USD, można oczekiwać zwrotu netto w wysokości 155 * 6, 5% = 10, 075 USD.
Dotyczy to jednak zwrotu towaru. Musimy szukać podobnych oczekiwanych zwrotów dla opcji call.
W oparciu o zerową wypłatę połączenia poniżej ceny wykonania (istniejące 155 USD - połączenie ATM), wszystkie negatywne ruchy wygenerują zerowe wypłaty, podczas gdy wszystkie pozytywne ruchy powyżej ceny wykonania wygenerują równoważną wypłatę. Oczekiwany zwrot dla opcji call będzie zatem wynosił:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Oznacza to, że na każde 100 USD zainwestowane w zakup tej opcji można oczekiwać 9, 75 USD (w oparciu o powyższe założenia).
Jednak nadal pozostaje to ograniczone do uczciwej wyceny wewnętrznej kwoty opcji i nie ujmuje prawidłowo ryzyka ponoszonego przez sprzedawcę opcji w związku z wysokimi wahaniami, które mogą wystąpić w okresie przejściowym (w przypadku wyżej wspomnianych intrayear wysokich i niskich ceny). Oprócz wartości wewnętrznej, jaką cenę może uzgodnić kupujący i sprzedawca, aby sprzedawca był w odpowiedni sposób rekompensowany za ryzyko, które przejmuje w ciągu roku?
Huśtawki te mogą się znacznie różnić, a sprzedawca może mieć własną interpretację tego, ile chce za to zrekompensować. Model Blacka-Scholesa zakłada opcje typu europejskiego, tzn. Brak ćwiczeń przed datą wygaśnięcia. Tym samym nie wpływają na nią wahania cen pośrednich i opiera swoją wycenę na końcowych dniach handlowych.
W handlu rzeczywistym dzień ta zmienność odgrywa ważną rolę w ustalaniu cen opcji. Niebieska funkcja wypłaty, którą zwykle widzimy, jest faktycznie wypłatą w dniu wygaśnięcia. Realistycznie cena opcji (różowy wykres) jest zawsze wyższa niż wypłata (niebieski wykres), wskazując cenę podjętą przez sprzedającego w celu zrekompensowania jego zdolności do podejmowania ryzyka. Dlatego cena opcji jest również znana jako opcja „premia” - zasadniczo oznacza premię za ryzyko.
Można to uwzględnić w naszym modelu wyceny, w zależności od oczekiwanej zmienności ceny akcji i oczekiwanej wartości, która to przyniesie.
Model Blacka-Scholesa robi to skutecznie (oczywiście w ramach własnych założeń) w następujący sposób:
W pobliżu C = S × N (d1) -X × e-rTN (d2)
Model BS zakłada logarytmiczny rozkład ruchów cen akcji, co uzasadnia użycie N (d1) i N (d2).
- W pierwszej części S wskazuje aktualną cenę akcji. N (d1) wskazuje prawdopodobieństwo bieżącego ruchu cen akcji.
Jeśli ta opcja pójdzie w pieniądz, umożliwiając kupującemu skorzystanie z tej opcji, dostanie on jedną część akcji bazowej IBM. Jeśli inwestor wykonuje to dzisiaj, wówczas S * N (d1) reprezentuje oczekiwaną wartość opcji w dniu dzisiejszym.
W drugiej części X oznacza cenę wykonania.
- N (d2) reprezentuje prawdopodobieństwo, że cena akcji będzie wyższa niż cena wykonania, więc X * N (d2) reprezentuje oczekiwaną wartość ceny akcji powyżej ceny wykonania.
Ponieważ model Blacka-Scholesa zakłada opcje w stylu europejskim, w których ćwiczenie jest możliwe tylko na końcu, oczekiwaną wartość reprezentowaną powyżej przez X * N (d2) należy zdyskontować za wartość pieniądza w czasie. Dlatego ostatnia część zostaje pomnożona przez wykładniczy termin podniesiony do stopy procentowej w danym okresie.
Różnica netto tych dwóch terminów wskazuje wartość ceny opcji na dzień dzisiejszy (przy czym drugi termin jest dyskontowany)
W naszych ramach takie zmiany cen można dokładniej uwzględnić na wiele sposobów:
- Dalsze udoskonalenie obliczeń oczekiwanego zwrotu poprzez rozszerzenie zakresu na bardziej precyzyjne przedziały w celu uwzględnienia ruchów cen w ciągu dnia / w ciągu dnia Uwzględnienie bieżących danych rynkowych, ponieważ odzwierciedlają one bieżącą aktywność (podobną do zmienności implikowanej) Oczekiwany zwrot w dniu wygaśnięcia, który może zostać zdyskontowane z powrotem do dnia dzisiejszego dla realistycznych wycen i dodatkowo zmniejszone w stosunku do wartości z dnia dzisiejszego
Widzimy zatem, że nie ma ograniczeń co do założeń, metodologii i dostosowania, które należy wybrać do analizy ilościowej. W zależności od aktywów, które mają być przedmiotem obrotu lub inwestycji, które należy wziąć pod uwagę, można opracować własny model. Należy zauważyć, że zmienność ruchów cen różnych klas aktywów jest bardzo zróżnicowana - akcje mają skośność zmienności, forex marszczy brwi - a użytkownicy powinni uwzględnić w swoich modelach odpowiednie wzorce zmienności. Założenia i wady są integralną częścią każdego modelu, a zastosowanie modeli w rzeczywistych sytuacjach handlowych przyniesie lepsze wyniki.
Dolna linia
W związku z wejściem na rynek złożonych aktywów lub nawet zwykłych aktywów waniliowych w złożone formy handlu, modelowanie i analiza ilościowa stają się obowiązkowe do wyceny. Niestety nie ma modelu matematycznego bez zestawu wad i założeń. Najlepszym podejściem jest ograniczenie założeń do minimum i zdawanie sobie sprawy z domniemanych wad, które mogą pomóc w narysowaniu linii dotyczących wykorzystania i zastosowania modeli.
