Nawet jeśli nie znasz rozkładu dwumianowego według nazwy i nigdy nie wziąłeś udziału w zaawansowanych zajęciach z statystyki college'u, z pewnością to rozumiesz. Naprawdę tak. Jest to sposób oceny prawdopodobieństwa, że dyskretne zdarzenie nastąpi albo się nie zdarzy. I ma wiele zastosowań w finansach. Oto jak to działa:
Zaczynasz od próby - rzutu monetą, rzutów wolnych, obrotów koła ruletki, cokolwiek. Jedyną kwalifikacją jest to, że przedmiotowy przedmiot musi mieć dokładnie dwa możliwe wyniki. Sukces lub porażka, to wszystko. (Tak, koło ruletki ma 38 możliwych wyników. Ale z punktu widzenia gracza są tylko dwa. Albo wygrasz, albo przegrasz.)
W naszym przykładzie wykorzystamy rzuty wolne, ponieważ są one nieco bardziej interesujące niż dokładna i niezmienna 50% szansa na wylądowanie monet. Powiedz, że jesteś Dirk Nowitzki z Dallas Mavericks, który w zeszłym roku strzelił 89, 9% swoich rzutów wolnych. Nazywamy to 90% dla naszych celów. Jeśli postawiłbyś go teraz na linii, jakie są szanse, że trafi (przynajmniej) 9 na 10?
Nie, nie są w 100%. Nie są też 90%.
Są 74%, wierzcie lub nie. Oto wzór. Wszyscy jesteśmy tutaj dorośli, nie trzeba bać się wykładników i greckich liter:
n jest liczbą prób. W takim przypadku 10.
i to liczba sukcesów, która wynosi 9 lub 10. Obliczymy prawdopodobieństwo każdego z nich, a następnie je dodamy.
p to prawdopodobieństwo powodzenia każdego pojedynczego zdarzenia, które wynosi 0, 9.
Szansa na osiągnięcie celu, czyli dwumianowy rozkład sukcesów i porażek, jest następująca:
W pobliżu I = 0∑k (ni) pi (1-p) n-i
Notacja matematyki naprawczej, jeśli potrzebne są dalsze terminy w tym wyrażeniu:
W pobliżu (Ni) = (n-i)! I! N!
To jest „dwumianowy” w rozkładzie dwumianowym: tzn. Dwa terminy. Interesuje nas nie tylko liczba sukcesów, ani liczba prób, ale jedno i drugie. Każdy jest dla nas bezużyteczny bez drugiego.
Więcej naprawczych notacji matematycznych:! jest silnia: pomnożenie dodatniej liczby całkowitej przez każdą mniejszą dodatnią liczbę całkowitą. Na przykład, W pobliżu 5! = 5 × 4 × 3 × 2
Podłącz liczby, pamiętając, że musimy rozwiązać zarówno dla 9 na 10 rzutów wolnych, jak i 10 na 10, i otrzymujemy
W pobliżu (9! 1! 10! ×.9, 9 ×.1.1) + (10! 10! ×.91 ×.10)
= 0, 387420489 (czyli szansa na trafienie dziewięciu) + 0, 3486784401 (szansa na trafienie wszystkich dziesięciu)
= 0, 736098929
Jest to rozkład skumulowany , w przeciwieństwie do samego rozkładu prawdopodobieństwa . Rozkład skumulowany jest sumą wielu rozkładów prawdopodobieństwa (w naszym przypadku byłoby to dwa). Rozkład skumulowany oblicza szansę trafienia w zakres wartości - tutaj 9 lub 10 na 10 rzutów wolnych - zamiast jednego wartość. Kiedy pytamy, jakie są szanse, że Nowitzki uderzy 9 na 10, należy rozumieć, że mamy na myśli „9 lub lepiej na 10”, a nie „dokładnie 9 na 10”.
Co to ma wspólnego z finansami? Bardziej niż myślisz. Powiedzmy, że jesteś bankiem, pożyczkodawcą, który wie, że z dokładnością do trzech miejsc po przecinku prawdopodobieństwo niewykonania zobowiązania przez konkretnego pożyczkobiorcę. Jakie są szanse, że tylu pożyczkobiorców nie wywiąże się z płatności, że bank stanie się niewypłacalny? Gdy użyjesz funkcji skumulowanej dystrybucji dwumianowej do obliczenia tej liczby, masz lepszy pomysł, jak wycenić ubezpieczenie, a ostatecznie, ile pieniędzy pożyczyć i ile zachować w rezerwie.
Czy zastanawiałeś się kiedyś, jak ustalane są ceny początkowe opcji? To samo. Jeśli niestabilna akcja bazowa ma szansę na osiągnięcie określonej ceny, możesz spojrzeć na ruch akcji w serii n okresów, aby ustalić, za jaką cenę opcje będą sprzedawane. (Gotowy na bardziej zaawansowane techniki handlu? Sprawdź artykuł Investopedia na temat strategii używania wskaźników technicznych).
Zastosowanie dwumianowej funkcji dystrybucji do finansów daje zaskakujące, jeśli nie całkowicie sprzeczne z intuicją wyniki; podobnie jak szansa na to, że 90% rzut wolny rzuci 90% jego rzutów wolnych, czyli mniej niż 90%. Załóżmy, że masz zabezpieczenia, które mają taką samą szansę na 20% zysku, jak i 20% straty. Jeśli cena zabezpieczenia spadnie o 20%, jakie są szanse na jego odbicie do początkowego poziomu? Pamiętaj, że zwykły odpowiedni zysk w wysokości 20% go nie zmniejszy: akcje, które spadną o 20%, a następnie zyskają o 20%, nadal spadną o 4%. Utrzymuj naprzemiennie 20% spadków i zysków, a ostatecznie zapasy będą bezwartościowe.
Dolna linia
Analitycy znający rozkład dwumianowy dysponują dodatkowym zestawem narzędzi wysokiej jakości przy ustalaniu cen, ocenie ryzyka i unikaniu nieprzyjemnych wyników, które mogą wynikać z niedostatecznego przygotowania. Kiedy zrozumiesz rozkład dwumianowy i jego często zaskakujące wyniki, będziesz daleko przed masami.
