Jak korzystać z symulacji Monte Carlo z GBM

Jednym z najczęstszych sposobów szacowania ryzyka jest zastosowanie symulacji Monte Carlo (MCS). Na przykład, aby obliczyć wartość zagrożoną (VaR) portfela, możemy przeprowadzić symulację Monte Carlo, która próbuje przewidzieć najgorszą prawdopodobną stratę dla portfela, biorąc pod uwagę przedział ufności w określonym horyzoncie czasowym (zawsze musimy podać dwa warunki VaR: pewność i horyzont)., dokonamy przeglądu podstawowego MCS zastosowanego do ceny akcji przy użyciu jednego z najbardziej popularnych modeli w finansach: geometrycznego ruchu Browna (GBM). Dlatego, chociaż symulacja Monte Carlo może odnosić się do wszechświata różnych podejść do symulacji, zaczniemy tutaj od najbardziej podstawowych.

Gdzie zacząć

Symulacja Monte Carlo jest próbą wielokrotnego przewidywania przyszłości. Pod koniec symulacji tysiące lub miliony „prób losowych” dają rozkład wyników, które można analizować. Podstawowe kroki są następujące:

1. Określ model (np. GBM)

W tym artykule wykorzystamy Geometryczny ruch Browna (GBM), który jest technicznie procesem Markowa. Oznacza to, że cena akcji podąża losowym krokiem i jest zgodna (przynajmniej) ze słabą formą efektywnej hipotezy rynkowej (EMH) - informacja o cenie przeszłej jest już uwzględniona, a następny ruch cenowy jest „warunkowo niezależny” od przeszłości zmiany cen.

Wzór na GBM znajduje się poniżej:

W pobliżu $\begin{matrix} \frac{Δ S.}{S.} = μ Δ t + σ ϵ \sqrt{Δ t} \\ gdzie: \\ S. = cena akcji \\ Δ S. = zmiana ceny akcji \\ μ = oczekiwany zwrot \\ σ = standardowe odchylenie zwrotów \\ ϵ = zmienna losowa \end{matrix} \ begin {aligned} & \ frac { Delta S} {S} = \ \ mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t} \ & \ textbf {gdzie:} \ & S = \ text {cena akcji} \ & \ Delta S = \ text {zmiana ceny akcji} \ & \ mu = \ text {oczekiwany zwrot} \ & \ sigma = \ text {odchylenie standardowe zwraca} \ & \ epsilon = \ text {zmienna losowa} \ & \ Delta t = \ text {upływ czasu} end {wyrównany}$ SΔS = μΔt + σϵΔt gdzie: S = cena akcji SS = zmiana ceny akcji μ = oczekiwany zwrot σ = odchylenie standardowe zwrotów ϵ = zmienna losowa

Jeśli zmienimy formułę, aby rozwiązać tylko zmianę ceny akcji, zobaczymy, że GBM twierdzi, że zmiana ceny akcji to cena akcji „S” pomnożona przez dwa warunki znajdujące się w nawiasie poniżej:

W pobliżu $Δ S. = S. \times (μ Δ t + σ ϵ \sqrt{Δ t}) \ Delta S \ = \ S \ \ times ( mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t})$ ΔS = S × (μΔt + σϵΔt)

Pierwszy termin to „dryf”, a drugi to „szok”. W każdym okresie nasz model zakłada, że cena „wzrośnie” o oczekiwany zwrot. Ale dryf zostanie zszokowany (dodany lub odjęty) przez losowy szok. Szok losowy będzie odchyleniem standardowym „s” pomnożonym przez liczbę losową „e”. Jest to po prostu sposób skalowania odchylenia standardowego.

To jest istota GBM, jak pokazano na rysunku 1. Cena akcji następuje po szeregu kroków, przy czym każdy krok jest odchyleniem plus lub minus losowy szok (sam jest funkcją standardowego odchylenia akcji):

2. Generuj losowe próby

Uzbrojeni w specyfikację modelu, przystępujemy do losowych prób. Aby to zilustrować, wykorzystaliśmy Microsoft Excel do przeprowadzenia 40 prób. Pamiętaj, że jest to nierealnie mała próbka; większość symulacji lub „simów” przeprowadza co najmniej kilka tysięcy prób.

W takim przypadku załóżmy, że zapasy zaczynają się w dniu zero od ceny 10 USD. Oto wykres wyniku, w którym każdy krok (lub interwał) wynosi jeden dzień, a seria trwa przez dziesięć dni (w skrócie: czterdzieści prób z codziennymi krokami przez dziesięć dni):

Rezultatem jest czterdzieści symulowanych cen akcji na koniec 10 dni. Żaden przypadek nie spadł poniżej 9 USD, a jeden przekroczył 11 USD.

3. Przetwórz wynik

Symulacja dała rozkład hipotetycznych przyszłych wyników. Możemy zrobić kilka rzeczy z danymi wyjściowymi.

Jeśli na przykład chcemy oszacować VaR z 95% pewnością, musimy tylko zlokalizować wynik na 38. miejscu (trzeci najgorszy wynik). To dlatego, że 2/40 równa się 5%, więc dwa najgorsze wyniki to najniższe 5%.

Jeśli ułożymy zilustrowane wyniki w przedziały (każdy przedział to jedna trzecia 1 $, więc trzy przedziały pokrywają przedział od 9 do 10 $), otrzymamy następujący histogram:

Pamiętaj, że nasz model GBM zakłada normalność; zwroty cen są zwykle rozkładane z oczekiwanym zwrotem (średnia) „m” i odchyleniem standardowym „s”. Co ciekawe, nasz histogram nie wygląda normalnie. W rzeczywistości przy większej liczbie prób nie będzie dążył do normalności. Zamiast tego będzie dążył do logarytmicznego rozkładu: ostry spadek po lewej stronie średniej i mocno przekrzywiony „długi ogon” po prawej stronie średniej.

To często prowadzi do potencjalnie mylącej dynamiki dla studentów rozpoczynających naukę po raz pierwszy:

Zwroty cen są zwykle rozkładane. Poziomy cen są rozkładane logarytmicznie.

Pomyśl o tym w ten sposób: akcje mogą zwrócić w górę lub w dół o 5% lub 10%, ale po pewnym czasie cena akcji nie może być ujemna. Co więcej, wzrost cen po stronie dodatniej ma złożony skutek, a spadek cen po stronie spadku zmniejsza podstawę: stracisz 10%, a masz mniej do stracenia następnym razem.

Oto wykres logarytmicznego rozkładu nałożonego na nasze ilustrowane założenia (np. Cena wywoławcza 10 USD):

Dolna linia

Symulacja Monte Carlo stosuje wybrany model (który określa zachowanie instrumentu) do dużego zestawu badań losowych w celu uzyskania wiarygodnego zestawu możliwych przyszłych wyników. W odniesieniu do symulacji cen akcji najczęstszym modelem jest geometryczny ruch Browna (GBM). GBM zakłada, że ciągłemu dryfowi towarzyszą przypadkowe wstrząsy. Podczas gdy zwroty okresów w ramach GBM są zwykle dystrybuowane, wynikające z nich wielomiesięczne (na przykład dziesięć dni) poziomy cen są rozkładane logarytmicznie.

Spisu treści: