Postaw na mądrzejszy dzięki symulacji Monte Carlo

W finansach istnieje dość niepewność i ryzyko związane z oszacowaniem przyszłej wartości liczb lub kwot ze względu na różnorodność potencjalnych wyników. Symulacja Monte Carlo (MCS) to jedna z technik, która pomaga zmniejszyć niepewność związaną z szacowaniem przyszłych wyników. MCS można zastosować do złożonych, nieliniowych modeli lub wykorzystać do oceny dokładności i wydajności innych modeli. Może być również wdrożony w zarządzaniu ryzykiem, zarządzaniu portfelem, wycenie instrumentów pochodnych, planowaniu strategicznym, planowaniu projektów, modelowaniu kosztów i innych dziedzinach.

Definicja

MCS to technika, która przekształca niepewności zmiennych wejściowych modelu w rozkłady prawdopodobieństwa. Łącząc rozkłady i losowo wybierając z nich wartości, ponownie oblicza symulowany model wiele razy i uwypukla prawdopodobieństwo wyniku.

Podstawowe cechy

MCS pozwala na jednoczesne użycie kilku danych wejściowych w celu utworzenia rozkładu prawdopodobieństwa jednego lub więcej wyników. Do danych wejściowych modelu można przypisać różne typy rozkładów prawdopodobieństwa. Gdy rozkład jest nieznany, można wybrać ten, który reprezentuje najlepsze dopasowanie. Zastosowanie liczb losowych charakteryzuje MCS jako metodę stochastyczną. Liczby losowe muszą być niezależne; między nimi nie powinna istnieć żadna korelacja. MCS generuje wynik jako zakres zamiast stałej wartości i pokazuje prawdopodobieństwo wystąpienia wartości wyjściowej w tym zakresie.

Niektóre często używane rozkłady prawdopodobieństwa w MCS

Rozkład normalny / Gaussa - rozkład ciągły stosowany w sytuacjach, w których podano średnią i odchylenie standardowe, a średnia reprezentuje najbardziej prawdopodobną wartość zmiennej. Jest symetryczny wokół średniej i nie jest ograniczony.

Rozkład logarytmiczny - rozkład ciągły określony za pomocą średniej i odchylenia standardowego. Jest to właściwe dla zmiennej od zera do nieskończoności, z dodatnim skośnością i normalnie rozmieszczonym logarytmem naturalnym.

Rozkład trójkątny - Ciągły rozkład ze stałymi wartościami minimalnymi i maksymalnymi. Jest ograniczony wartościami minimalną i maksymalną i może być symetryczny (najbardziej prawdopodobna wartość = średnia = mediana) lub asymetryczny.

Równomierny rozkład - ciągły rozkład ograniczony znanymi wartościami minimalnymi i maksymalnymi. W przeciwieństwie do rozkładu trójkątnego prawdopodobieństwo wystąpienia wartości między minimum a maksimum jest takie samo.

Rozkład wykładniczy - rozkład ciągły używany do zilustrowania czasu między niezależnymi wystąpieniami, pod warunkiem, że znany jest wskaźnik występowania.

Matematyka za MCS

Rozważmy, że mamy funkcję o wartości rzeczywistej g (X) z funkcją częstotliwości prawdopodobieństwa P (x) (jeśli X jest dyskretna) lub funkcją gęstości prawdopodobieństwa f (x) (jeśli X jest ciągła). Następnie możemy zdefiniować oczekiwaną wartość g (X) odpowiednio w postaci dyskretnej i ciągłej:

W pobliżu $\begin{matrix} mi (sol (X)) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} sol (x) P. (x), \\ gdzie P. (x) > 0 i \sum_{- \infty}^{+ \infty} P. (x) = 1 \\ mi (sol (X)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} sol (x) fa (x) re x, \\ gdzie fa (x) > 0 i \int_{- \infty}^{+ \infty} fa (x) re x = 1 \\ Następnie wykonaj losowe rysunki o nazwie n X (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ przebiegi próbne lub symulacyjne, oblicz sol (x_{1}), \dots, sol (x_{n}) \end{matrix} \ begin {wyrównany} i E (g (X)) = \ sum ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) P (x), \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {gdzie} P (x)> 0 \ text {i} sum ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} P (x) = 1 \\ & E (g (X)) = \ int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) f (x) , dx, \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {gdzie} f (x)> 0 \ text {i} int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} f (x) , dx = 1 \\ & \ text {Następnie zrób losowe rysunki $ n $ X (x_1, \ ldots, x_n) $, o nazwie} \ & \ text {przebiegi próbne lub symulacyjne, oblicz $ g (x_1), \ ldots, g (x_n) $} \ & \ text {i znajdź średnią $ g (x) $ próbki:} end {wyrównany}$ E (g (X)) = - ∞∑ + ∞ g (x) P (x), gdzie P (x)> 0 oraz − ∞∑ + ∞ P (x) = 1E (g (X)) = ∫ − ∞ + ∞ g (x) f (x) dx, gdzie f (x)> 0 i ∫ − ∞ + ∞ f (x) dx = 1 Dalej, wykonaj n losowych rysunków X (x1, …, xn), zwane przebiegami próbnymi lub symulacyjnymi, oblicz g (x1), …, g (xn)

W pobliżu $\begin{matrix} {sol}_{n}^{μ} (x) = \frac{1}{n} \sum_{ja = 1}^{n} sol (x_{ja}), który reprezentuje końcową symulację \\ wartość mi (sol (X)) . \\ W związku z tym {sol}_{n}^{μ} (X) = \frac{1}{n} \sum_{ja = 1}^{n} sol (X) będzie Monte Carlo \\ estymator mi (sol (X)) . \\ Tak jak n \to \infty, {sol}_{n}^{μ} (X) \to mi (sol (X)), w ten sposób jesteśmy teraz w stanie \\ obliczyć dyspersję wokół szacowanej średniej za pomocą \\ obiektywna wariancja {sol}_{n}^{μ} (X) : \end{matrix} \ begin {wyrównany} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (x_i), \ text {który reprezentuje końcowy symulowany} \ & \ text { wartość} E (g (X)). \\\\ & \ text {Dlatego} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (X) text {będzie Monte Carlo} \ & \ text {estymator} E (g (X)). \\\\ & \ text {As} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) na E (g (X)), \ text {w ten sposób możemy teraz} \ & \ text {obliczyć dyspersję wokół szacowanej średniej za pomocą} \ & \ text {bezstronna wariancja} g ^ \ mu_n (X) text {:} \ & Var (g ^ \ mu_n (X)) = \ frac {1} {n-1} sum ^ n_ {i = 1} (g (x_i) -g ^ \ mu_n (x)) ^ 2. \ end {aligned}$ Gnμ (x) = n1 i = 1∑n g (xi), który reprezentuje końcową symulowaną wartość E (g (X)). Dlatego gnμ (X) = n1 i = 1∑n g (X) będzie Monte Carloestimatorem E (g (X)). Ponieważ n → ∞, gnμ (X) → E (g (X)), możemy teraz obliczyć dyspersję wokół szacowanej średniej za pomocą obiektywna wariancja gnμ (X):

Prosty przykład

W jaki sposób niepewność dotycząca ceny jednostkowej, sprzedaży jednostkowej i kosztów zmiennych wpłynie na EBITD?

Sprzedaż jednostkowa praw autorskich) - (koszty zmienne + koszty stałe)

Wyjaśnijmy niepewność w danych wejściowych - cenie jednostkowej, sprzedaży jednostkowej i kosztach zmiennych - stosując rozkład trójkątny, określony przez odpowiednie wartości minimalne i maksymalne danych wejściowych z tabeli.

prawa autorskie

Tabela wrażliwości

Wykres wrażliwości może być bardzo przydatny, jeśli chodzi o analizę wpływu wejść na wyjście. Mówi się, że sprzedaż jednostkowa stanowi 62% wariancji w symulowanym EBITD, koszty zmienne 28, 6%, a cena jednostkowa 9, 4%. Korelacja między sprzedażą jednostkową a EBITD oraz między ceną jednostkową a EBITD jest dodatnia lub wzrost sprzedaży jednostkowej lub ceny jednostkowej doprowadzi do wzrostu EBITD. Z drugiej strony koszty zmienne i EBITD są ujemnie skorelowane, a zmniejszając koszty zmienne zwiększymy EBITD.

prawa autorskie

Uważaj, aby zdefiniowanie niepewności wartości wejściowej przez rozkład prawdopodobieństwa, który nie odpowiadałby rzeczywistemu, a próbkowanie na jego podstawie da nieprawidłowe wyniki. Ponadto założenie, że zmienne wejściowe są niezależne, może być nieprawidłowe. Wprowadzające w błąd wyniki mogą pochodzić z wzajemnie się wykluczających danych wejściowych lub w przypadku znalezienia znacznej korelacji między dwoma lub więcej rozkładami danych wejściowych.

Dolna linia

Technika MCS jest prosta i elastyczna. Nie może usunąć niepewności i ryzyka, ale może ułatwić ich zrozumienie poprzez przypisanie probabilistycznych cech wejściom i wyjściom modelu. Może być bardzo przydatny do określania różnych rodzajów ryzyka i czynników wpływających na prognozowane zmienne, a zatem może prowadzić do dokładniejszych prognoz. Należy również zauważyć, że liczba prób nie powinna być zbyt mała, ponieważ może nie być wystarczająca symulacja modelu, powodując grupowanie wartości.

Spisu treści: