Spis treści
- Co to jest model Black Scholesa?
- Podstawy modelu BSM
- Formuła Black Scholesa
- Co mówi ci model?
- Ograniczenia
Co to jest model Black Scholesa?
Model Black Scholesa, znany również jako model Black-Scholesa-Mertona (BSM), jest modelem matematycznym do wyceny kontraktu opcji. W szczególności model szacuje zmienność w czasie instrumentów finansowych, takich jak akcje, a zastosowanie implikowanej zmienności aktywów bazowych określa cenę opcji kupna.
Kluczowe dania na wynos
- Model Blacka-Scholesa Mertona (BSM) jest równaniem różniczkowym stosowanym do rozwiązywania cen opcji. Model zdobył nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii. Standardowy model BSM służy wyłącznie do wyceny opcji europejskich i nie bierze pod uwagę, że opcje amerykańskie mogłyby być wykonane przed datą wygaśnięcia.
Podstawy czarnego modelu Scholesa
Model zakłada, że cena mocno handlowanych aktywów jest zgodna z ruchem geometrycznym Browna ze stałym dryfowaniem i zmiennością. Po zastosowaniu do opcji na akcje model uwzględnia stałą zmianę ceny akcji, wartość pieniądza w czasie, cenę wykonania opcji i czas wygaśnięcia opcji.
Nazywany także Black-Scholes-Merton, był to pierwszy szeroko stosowany model wyceny opcji. Służy do obliczania teoretycznej wartości opcji przy użyciu bieżących cen akcji, oczekiwanych dywidend, ceny wykonania opcji, oczekiwanych stóp procentowych, czasu wygaśnięcia i oczekiwanej zmienności.
Formuła opracowana przez trzech ekonomistów - Fischera Blacka, Myrona Scholesa i Roberta Mertona - jest prawdopodobnie najbardziej znanym na świecie modelem wyceny opcji. Został wprowadzony w artykule z 1973 r., „Wycena opcji i zobowiązań korporacyjnych”, opublikowanym w Journal of Political Economy . Black zmarł dwa lata wcześniej, zanim Scholes i Merton otrzymali Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii z 1997 r. Za pracę nad znalezieniem nowej metody określania wartości instrumentów pochodnych (Nagroda Nobla nie jest przyznawana pośmiertnie; jednak komitet Nobla uznał rolę Blacka w Model Black-Scholesa).
Model Blacka-Scholesa przyjmuje pewne założenia:
- Opcja ma charakter europejski i można z niej skorzystać tylko po jej wygaśnięciu. W okresie obowiązywania opcji dywidendy nie są wypłacane. Rynki są wydajne (tzn. Nie można przewidzieć ruchów rynkowych). Zakup opcji nie wiąże się z żadnymi kosztami transakcyjnymi. wolny kurs i zmienność instrumentu bazowego są znane i stałe. Zwroty z instrumentu bazowego są zwykle rozkładane.
Podczas gdy oryginalny model Blacka-Scholesa nie uwzględniał skutków dywidend wypłaconych w okresie obowiązywania opcji, model ten jest często dostosowywany do rozliczania dywidend poprzez ustalanie wartości daty bazowej akcji bez dywidendy.
Formuła Black Scholesa
Matematyka związana z formułą jest skomplikowana i może być zastraszająca. Na szczęście nie musisz znać ani nawet rozumieć matematyki, aby używać modelowania Blacka-Scholesa we własnych strategiach. Handlowcy opcji mają dostęp do różnych kalkulatorów opcji online, a wiele współczesnych platform handlowych oferuje solidne narzędzia do analizy opcji, w tym wskaźniki i arkusze kalkulacyjne, które wykonują obliczenia i generują wartości wyceny opcji.
Formuła opcji kupna Black Scholesa jest obliczana poprzez pomnożenie ceny akcji przez skumulowaną standardową funkcję normalnego rozkładu prawdopodobieństwa. Następnie wartość bieżącą netto (NPV) ceny wykonania pomnożoną przez skumulowany standardowy rozkład normalny odejmuje się od wartości wynikowej z poprzedniego obliczenia.
W notacji matematycznej:
W pobliżu C = St N (d1) -Ke-rtN (d2) gdzie: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t andd2 = d1 σσ t gdzie: C = cena opcji kupna S = bieżąca cena akcji (lub innego instrumentu bazowego) K = cena wykonania = stopa procentowa wolna od ryzyka = czas do terminu zapadalności N = rozkład normalny
Model Black-Scholesa
Co mówi model Black Scholes?
Model Blacka Scholesa jest jedną z najważniejszych koncepcji współczesnej teorii finansów. Został opracowany w 1973 roku przez Fischera Blacka, Roberta Mertona i Myrona Scholesa i jest nadal powszechnie używany. Jest uważany za jeden z najlepszych sposobów ustalania uczciwych cen opcji. Model Blacka Scholesa wymaga pięciu zmiennych wejściowych: ceny wykonania opcji, bieżącej ceny akcji, czasu do wygaśnięcia, stopy wolnej od ryzyka i zmienności.
Model zakłada, że ceny akcji mają logarytmiczny rozkład, ponieważ ceny aktywów nie mogą być ujemne (są ograniczone przez zero). Jest to również znane jako rozkład Gaussa. Często obserwuje się, że ceny aktywów mają znaczną prawą skośność i pewien stopień kurtozy (grubych ogonów). Oznacza to, że ruchy spadkowe wysokiego ryzyka często zdarzają się częściej na rynku, niż przewiduje normalny rozkład.
Założenie o logarytmicznych cenach bazowych aktywów powinno zatem wykazać, że implikowane zmienności są podobne dla każdej ceny wykonania zgodnie z modelem Blacka-Scholesa. Jednak od krachu na rynku w 1987 r. Zmienność implikowana dla opcji pieniądza była niższa niż tych, które znajdują się poza pieniądzem lub daleko w pieniądzu. Powodem tego zjawiska jest to, że rynek wycenia z większym prawdopodobieństwem przesunięcia dużej zmienności na spadki na rynkach.
Doprowadziło to do obecności skosu zmienności. Kiedy implikowane zmienności dla opcji z tą samą datą ważności są odwzorowane na wykresie, można zobaczyć uśmiech lub przekrzywienie. Zatem model Blacka-Scholesa nie jest skuteczny do obliczania zmienności implikowanej.
Ograniczenia modelu Czarnego Scholesa
Jak wspomniano wcześniej, model Black Scholesa służy wyłącznie do wyceny opcji europejskich i nie bierze pod uwagę, że opcje amerykańskie mogą być wykonane przed datą wygaśnięcia. Ponadto model zakłada, że dywidendy i stopy wolne od ryzyka są stałe, ale w rzeczywistości może to nie być prawdą. Model zakłada również, że zmienność pozostaje stała przez cały okres użytkowania opcji, co nie jest prawdą, ponieważ zmienność zmienia się wraz z poziomem podaży i popytu.
Ponadto model zakłada, że nie występują koszty transakcji ani podatki; że stopa procentowa wolna od ryzyka jest stała dla wszystkich terminów zapadalności; dopuszcza się krótką sprzedaż papierów wartościowych z wykorzystaniem wpływów; oraz że nie ma możliwości arbitrażu pozbawionego ryzyka. Te założenia mogą prowadzić do cen odbiegających od realnego świata, w którym występują te czynniki.
Czarny, Scholes, Merton. © KhanAcademy
