Zrozumienie modelu wyceny opcji dwumianowych

Ustalanie cen akcji

Uzgodnienie dokładnej wyceny każdego zbywalnego składnika aktywów jest trudne - dlatego ceny akcji stale się zmieniają. W rzeczywistości firmy prawie nie zmieniają swoich wycen na co dzień, ale ceny akcji i wyceny zmieniają się niemal co sekundę. Ta trudność w osiągnięciu konsensusu w sprawie prawidłowej wyceny dowolnego zbywalnego składnika aktywów prowadzi do krótkotrwałych możliwości arbitrażu.

Ale wiele udanych inwestycji sprowadza się do prostego pytania o dzisiejszą wycenę - jaka jest obecnie aktualna cena dla oczekiwanej przyszłej wypłaty?

Wycena opcji dwumianowych

Na konkurencyjnym rynku, aby uniknąć możliwości arbitrażu, aktywa o identycznej strukturze wypłat muszą mieć tę samą cenę. Wycena opcji była trudnym zadaniem, a zmiany cen prowadzą do możliwości arbitrażu. Black-Scholes pozostaje jednym z najpopularniejszych modeli używanych do wyceny opcji, ale ma ograniczenia.

Dwumianowy model wyceny opcji to kolejna popularna metoda stosowana do wyceny opcji.

Przykłady

Załóżmy, że istnieje opcja kupna określonego akcji o aktualnej cenie rynkowej 100 USD. Opcja at-the-money (ATM) ma cenę wykonania 100 USD z terminem wygaśnięcia na okres jednego roku. Jest dwóch handlowców, Peter i Paula, którzy obaj zgadzają się, że cena akcji wzrośnie do 110 USD lub spadnie do 90 USD w ciągu jednego roku.

Zgadzają się co do oczekiwanych poziomów cen w danym okresie jednego roku, ale nie zgadzają się co do prawdopodobieństwa przesunięcia w górę lub w dół. Peter uważa, że prawdopodobieństwo ceny akcji do 110 USD wynosi 60%, podczas gdy Paula uważa, że 40%.

Na tej podstawie, kto byłby skłonny zapłacić wyższą cenę za opcję kupna? Być może Peter, ponieważ spodziewa się wysokiego prawdopodobieństwa ruchu w górę.

Obliczenia opcji dwumianowych

Dwa aktywa, od których zależy wycena, to opcja kupna i akcje bazowe. Uczestnicy zgadzają się, że bazowa cena akcji może zmienić się z obecnych 100 USD na 110 USD lub 90 USD w ciągu jednego roku i nie są możliwe żadne inne zmiany cen.

W świecie wolnym od arbitrażu, jeśli musisz stworzyć portfel składający się z tych dwóch aktywów, opcji kupna i akcji bazowych, tak że niezależnie od tego, dokąd idzie cena bazowa - 110 USD lub 90 USD - zwrot netto z portfela zawsze pozostaje taki sam. Załóżmy, że kupujesz akcje „d” bazowych i krótkich opcji kupna, aby utworzyć ten portfel.

Jeśli cena wzrośnie do 110 USD, Twoje akcje będą warte 110 USD * d, a po wypłacie krótkiego połączenia stracisz 10 USD. Wartość netto twojego portfela wyniesie (110d - 10).

Jeśli cena spadnie do 90 USD, twoje akcje będą warte 90 USD * d, a opcja wygasa bezwartościowo. Wartość netto twojego portfela wyniesie (90d).

W pobliżu $\begin{matrix} h (re) - m = l (re) \\ gdzie: \\ h = Najwyższa potencjalna cena bazowa \\ re = Liczba akcji bazowych \\ m = Pieniądze utracone podczas wypłaty krótkich połączeń \\ l = Najniższa potencjalna cena bazowa \end{matrix} \ begin {wyrównany} i h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {gdzie:} \ & h = \ text {Najwyższa potencjalna cena bazowa} \ & d = \ text {Liczba akcji bazowych} \ & m = \ text {Stracone pieniądze przy wypłacie krótkiej rozmowy} \ & l = \ text {Najniższa potencjalna cena bazowa} \ \ end {wyrównany}$ H (d) −m = l (d) gdzie: h = najwyższy potencjalny wyceniony instrument bazowy = liczba bazowych udziałów m = pieniądze utracone z tytułu wypłaty krótkiej rozmowy = najniższa potencjalna cena bazowa

Jeśli więc kupisz połowę udziału, zakładając, że możliwe są ułamkowe zakupy, uda ci się stworzyć portfel, aby jego wartość pozostała taka sama w obu możliwych stanach w danym okresie jednego roku.

W pobliżu $\begin{matrix} 110 re - 10 = 90 re \\ re = \frac{1}{2)} \end{matrix} \ begin {wyrównany} i 110d - 10 = 90d \\ i d = \ frac {1} {2} \ \ end {wyrównany}$ 110d-10 = 90dd = 21

Ta wartość portfela, oznaczona jako (90d) lub (110d - 10) = 45, jest o rok niższa od linii. Aby obliczyć jego bieżącą wartość, można ją zdyskontować wolną od ryzyka stopą zwrotu (przy założeniu 5%).

W pobliżu $\begin{matrix} Obecna wartość & = 90 re \times {mi}^{(- 5 % \times 1 Rok)} \\ = 45 \times 0.95 2) 3) \\ = 4 2) . 85 \end{matrix} \ begin {aligned} text {Wartość bieżąca} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Year})} \ & = 45 \ times 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ koniec {wyrównany}$ Wartość bieżąca = 90d × e (−5% × 1 rok) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Ponieważ obecnie portfel składa się z ½ akcji bazowych (o cenie rynkowej 100 USD) i jednego krótkiego wezwania, powinien być równy wartości bieżącej.

W pobliżu $\begin{matrix} \frac{1}{2)} \times 100 - 1 \times Cena połączenia = $ 4 2) . 85 \\ Cena połączenia = $ 7.14, tj. dzisiejsza cena połączenia \end{matrix} \ begin {aligned} & \ frac {1} {2} times 100 - 1 \ times \ text {Cena połączenia} = \ 42, 85 $ \\ & \ text {Cena połączenia} = \ 7, 14 $ \ text {, tj. cena połączenia dnia} \ \ end {aligned}$ 21 × 100-1 × Cena połączenia = 42, 85 USD Cena połączenia = 7, 14 USD, czyli dzisiejsza cena połączenia

Ponieważ opiera się to na założeniu, że wartość portfela pozostaje taka sama, niezależnie od tego, w którą stronę idzie cena bazowa, prawdopodobieństwo ruchu w górę lub w dół nie odgrywa żadnej roli. Portfel pozostaje wolny od ryzyka, niezależnie od zmian cen.

W obu przypadkach (zakładany wzrost w górę do 110 USD i spadek w dół do 90 USD), twój portfel jest neutralny dla ryzyka i osiąga wolną od ryzyka stopę zwrotu.

Dlatego zarówno inwestorzy, Peter, jak i Paula, byliby skłonni zapłacić tę samą 7, 14 USD za tę opcję kupna, pomimo odmiennego postrzegania prawdopodobieństwa ruchów w górę (60% i 40%). Ich indywidualnie postrzegane prawdopodobieństwa nie mają znaczenia przy wycenie opcji.

Zakładając zamiast tego, że indywidualne prawdopodobieństwa mają znaczenie, możliwości arbitrażu mogły się pojawić. W prawdziwym świecie takie możliwości arbitrażu istnieją przy niewielkich różnicach cen i znikają w krótkim okresie.

Ale gdzie jest bardzo zmienna zmienność we wszystkich tych obliczeniach, ważny i wrażliwy czynnik, który wpływa na wycenę opcji?

Zmienność jest już uwzględniona w naturze definicji problemu. Zakładając dwa (i tylko dwa - stąd „dwumianowe”) stany poziomów cen (110 i 90 USD), zmienność jest domyślna w tym założeniu i uwzględniana automatycznie (10% w obu przypadkach w tym przykładzie).

Black-Scholes

Ale czy to podejście jest prawidłowe i spójne z powszechnie stosowaną ceną Blacka-Scholesa? Wyniki kalkulatora opcji (dzięki uprzejmości OIC) są ściśle zgodne z obliczoną wartością:

Niestety, rzeczywisty świat nie jest tak prosty jak „tylko dwa państwa”. Zapas może osiągnąć kilka poziomów cen przed upływem terminu wygaśnięcia.

Czy możliwe jest uwzględnienie wszystkich tych wielu poziomów w dwumianowym modelu wyceny, który jest ograniczony tylko do dwóch poziomów? Tak, jest to bardzo możliwe, ale aby zrozumieć, wymaga to prostej matematyki.

Prosta matematyka

Aby uogólnić ten problem i rozwiązanie:

„X” to bieżąca cena rynkowa akcji, a „X * u” i „X * d” to przyszłe ceny ruchów w górę i w dół „t” lata później. Współczynnik „u” będzie większy niż jeden, ponieważ wskazuje ruch w górę, a „d” będzie znajdować się między zero a jeden. W powyższym przykładzie u = 1, 1 id = 0, 9.

Wypłaty opcji kupna to „P w _górę ” i „P _dn ” dla ruchów w górę i w dół w momencie wygaśnięcia.

W pobliżu $\begin{matrix} VUM = s \times X \times u - {P.}_{w górę} \\ gdzie: \\ VUM = Wartość portfela w przypadku wzrostu \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & \ textbf {gdzie:} \ & \ text {VUM} = \ text {Wartość portfela w przypadku ruchu w górę} \ \ end {wyrównany}$ VUM = s × X × u Pup Pup, gdzie: VUM = Wartość portfela w przypadku ruchu w górę

W pobliżu $\begin{matrix} VDM = s \times X \times re - {P.}_{na dół} \\ gdzie: \\ VDM = Wartość portfela w przypadku spadku \end{matrix} \ begin {wyrównany} i \ text {VDM} = s \ razy X \ razy d - P_ \ text {w dół} \ & \ textbf {gdzie:} \ & \ text {VDM} = \ text {Wartość portfela w przypadku ruchu w dół} \ \ end {wyrównany}$ VDM = s × X × d − Pdown gdzie: VDM = Wartość portfela w przypadku spadku w dół

Dla podobnej wyceny w obu przypadkach zmiany ceny:

W pobliżu $s \times X \times u - {P.}_{w górę} = s \times X \times re - {P.}_{na dół} s \ times X \ times u - P_ \ text {góra} = s \ times X \ razy d - P_ \ text {dół}$ s × X × u Pup Pup = s × X × d − Pdown

W pobliżu $\begin{matrix} s & = \frac{{P.}_{w górę} - {P.}_{na dół}}{X \times (u - re)} \\ = Liczba akcji do zakupu \\ portfel bez ryzyka \end{matrix} \ begin {aligned} s & = \ frac {P_ \ text {w górę} - P_ \ text {w dół}} {X \ times (u - d)} \ & = \ text {Liczba akcji do zakupu} \ & \ phantom {=} text {portfel wolny od ryzyka} \ \ end {aligned}$ s = X × (u − d) Pup −Pdown = liczba akcji do zakupu = portfel wolny od ryzyka

Przyszła wartość portfela na koniec „t” lat będzie wynosić:

W pobliżu $\begin{matrix} W przypadku ruchu w górę & = s \times X \times u - {P.}_{w górę} \\ = \frac{{P.}_{w górę} - {P.}_{na dół}}{u - re} \times u - {P.}_{w górę} \end{matrix} \ begin {wyrównany} text {W przypadku ruchu w górę} & = s \ razy X \ times u - P_ \ text {w górę} \ & = \ frac {P_ \ text {w górę} - P_ \ text {w dół} } {u - d} times u - P_ \ text {w górę} \ \ end {wyrównany}$ W przypadku ruchu w górę Move = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u Pup Pup

W pobliżu $\begin{matrix} W przypadku ruchu w dół & = s \times X \times re - {P.}_{na dół} \\ = \frac{{P.}_{w górę} - {P.}_{na dół}}{u - re} \times re - {P.}_{na dół} \end{matrix} \ begin {wyrównany} text {W przypadku ruchu w dół} & = s \ razy X \ razy d - P_ \ text {w dół} \ & = \ frac {P_ \ text {w górę} - P_ \ text {w dół} } {u - d} times d - P_ \ text {down} \ \ end {wyrównany}$ W przypadku ruchu w dół Move = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Współczesną wartość można uzyskać poprzez zdyskontowanie jej ze stopą zwrotu wolną od ryzyka:

W pobliżu $\begin{matrix} PV = mi (- r t) \times \\ gdzie: \\ PV = Współczesna wartość \\ r = Stopa zwrotu \\ t = Czas w latach \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {PV} = e (-rt) times \ left \\ & \ textbf {gdzie:} \ & \ text {PV} = \ text {Wartość współczesna} \ & r = \ text {Stopa zwrotu} \ & t = \ text {Czas w latach} \ \ end {wyrównany}$ PV = e (−rt) × gdzie: PV = współczesny Valuer = wskaźnik powtarzalności = czas w latach

Powinno to pasować do portfela akcji „s” po cenie X, a wartość krótkiego wezwania „c” (obecna pozycja (s * X - c) powinna być równa temu obliczeniu). Rozwiązanie dla „c” w końcu daje tak jak:

Uwaga: jeśli premia za połączenie jest krótka, powinna być dodatkiem do portfela, a nie odejmowaniem.

W pobliżu $do = \frac{mi (- r t)}{u - re} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} razy$ c = u − de (−rt) ×

Innym sposobem napisania równania jest jego zmiana:

Przyjmowanie „q” jako:

W pobliżu $q = \frac{mi (- r t) - re}{u - re} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

Następnie równanie staje się:

W pobliżu $do = mi (- r t) \times (q \times {P.}_{w górę} + (1 - q) \times {P.}_{na dół}) c = e (-rt) times (q \ times P_ \ text {góra} + (1 - q) times P_ \ text {dół})$ c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Zmiana układu równania na „q” zaoferowała nową perspektywę.

Teraz możesz interpretować „q” jako prawdopodobieństwo przesunięcia w górę instrumentu bazowego (ponieważ „q” jest powiązane z P w _górę, a „1-q” jest powiązane z P _dn). Ogólnie równanie reprezentuje obecną cenę opcji, zdyskontowaną wartość jej wypłaty po wygaśnięciu.

To „Q” jest inne

Czym to prawdopodobieństwo „q” różni się od prawdopodobieństwa ruchu w górę lub w dół instrumentu bazowego?

W pobliżu $\begin{matrix} VSP = q \times X \times u + (1 - q) \times X \times re \\ gdzie: \\ VSP = Wartość ceny akcji w czasie t \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) times X \ times d \\ & \ textbf {gdzie:} \ & \ text {VSP} = \ text {Wartość ceny akcji w czasie} t \\ \ end {wyrównany}$ VSP = q × X × u + (1-q) × X × dwhere: VSP = Wartość ceny akcji w czasie t

Podstawiając wartość „q” i przestawiając, cena akcji w momencie „t” dochodzi do:

W pobliżu $\begin{matrix} Cena akcji = mi (r t) \times X \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {Stock Price} = e (rt) times X \\ \ end {wyrównany}$ Cena akcji = e (rt) × X

W tym założonym świecie dwóch stanów cena akcji rośnie po prostu o wolną od ryzyka stopę zwrotu, dokładnie tak jak aktywa wolne od ryzyka, a zatem pozostaje niezależna od jakiegokolwiek ryzyka. Inwestorzy są obojętni na ryzyko w ramach tego modelu, więc stanowi to model neutralny dla ryzyka.

Prawdopodobieństwo „q” i „(1-q)” jest znane jako prawdopodobieństwo neutralne dla ryzyka, a metoda wyceny znana jest jako model wyceny neutralny dla ryzyka.

Przykładowy scenariusz ma jeden ważny wymóg - przyszła struktura wypłat jest wymagana z precyzją (poziom 110 USD i 90 USD). W rzeczywistości taka jasność co do poziomów cen opartych na skokach nie jest możliwa; raczej cena zmienia się losowo i może osiąść na wielu poziomach.

Aby dalej rozwinąć przykład, załóż, że możliwe są dwuetapowe poziomy cen. Znamy ostateczne wypłaty z drugiego etapu i dziś musimy wycenić opcję (na etapie początkowym):

Pracując wstecz, wyceny pośredniego pierwszego kroku (w t = 1) można dokonać, stosując końcowe wypłaty w drugim etapie (t = 2), a następnie stosując te obliczone wyceny w pierwszym etapie (t = 1), wycena w dniu dzisiejszym (t = 0) można osiągnąć za pomocą tych obliczeń.

Aby uzyskać wycenę opcji na drugim miejscu, stosuje się wypłaty na czwartym i piątym. Aby uzyskać cenę za numer trzy, stosuje się wypłaty w piątym i szóstym. Wreszcie, obliczone wypłaty w drugim i trzecim są wykorzystywane do ustalenia ceny na pierwszym miejscu.

Należy zauważyć, że ten przykład zakłada ten sam współczynnik dla ruchów w górę (i w dół) na obu etapach - u i d są stosowane w złożony sposób.

Przykład roboczy

Załóżmy, że opcja sprzedaży z ceną wykonania wynoszącą 110 USD jest obecnie wyceniana na 100 USD i wygasa za rok. Roczna stopa wolna od ryzyka wynosi 5%. Oczekuje się, że cena wzrośnie o 20% i spadnie o 15% co sześć miesięcy.

Tutaj u = 1, 2 id = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

przy użyciu powyższej pochodnej formuły

W pobliżu $q = \frac{mi (- r t) - re}{u - re} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

otrzymujemy q = 0, 35802832

wartość opcji sprzedaży w punkcie 2, W pobliżu $\begin{matrix} p_{2)} = mi (- r t) \times (p \times {P.}_{coraz wyżej i wyżej} + (1 - q) {P.}_{aktualizacja}) \\ gdzie: \\ p = Cena opcji sprzedaży \end{matrix} \ begin {wyrównany} i p_2 = e (-rt) times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {gdzie:} \ & p = \ text {Cena opcji sprzedaży} \ \ end {wyrównany}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 q) Pupdn) gdzie: p = cena opcji sprzedaży

W warunkach P _{upup wartość} bazowa będzie wynosić = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 USD, co prowadzi do P _upup = zero

W stanie P _{zaktualizowanym}, wartość bazowa będzie wynosić = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 USD, co prowadzi do P _updn = 8 USD

W warunkach P _{dndn wartość} bazowa wyniesie = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD, co prowadzi do P _dndn = _{37, 75} USD

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Podobnie, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

W pobliżu $p_{1} = mi (- r t) \times (q \times p_{2)} + (1 - q) p_{3)}) p_1 = e (-rt) times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

I stąd wartość opcji sprzedaży, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 USD.

Podobnie modele dwumianowe pozwalają przełamać cały czas trwania opcji w celu dalszego udoskonalenia wielu kroków i poziomów. Korzystając z programów komputerowych lub arkuszy kalkulacyjnych, możesz cofać się krok po kroku, aby uzyskać bieżącą wartość żądanej opcji.

Inny przykład

Załóżmy opcję sprzedaży typu europejskiego z terminem wygaśnięcia dziewięciu miesięcy, cenę wykonania 12 USD i bieżącą cenę bazową 10 USD. Załóżmy, że stopa wolna od ryzyka wynosi 5% dla wszystkich okresów. Załóżmy, że co trzy miesiące cena bazowa może przesuwać się o 20% w górę lub w dół, dając nam u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 i trzystopniowe drzewo dwumianowe.

Kolor czerwony oznacza ceny bazowe, natomiast kolor niebieski oznacza wypłatę opcji sprzedaży.

Prawdopodobieństwo „q” neutralne dla ryzyka oblicza się na 0, 531446.

Stosując powyższą wartość „q” i wartości wypłaty przy t = dziewięć miesięcy, odpowiednie wartości przy t = sześć miesięcy oblicza się jako:

Ponadto, stosując te obliczone wartości przy t = 6, wartości przy t = 3, a następnie przy t = 0 to:

Daje to dzisiejszą wartość opcji sprzedaży na poziomie 2, 18 USD, co jest bardzo zbliżone do obliczeń wykonywanych przy użyciu modelu Blacka-Scholesa (2, 30 USD).

Dolna linia

Chociaż korzystanie z programów komputerowych może ułatwić te intensywne obliczenia, przewidywanie przyszłych cen pozostaje głównym ograniczeniem dwumianowych modeli wyceny opcji. Im krótsze przedziały czasowe, tym trudniej jest przewidzieć wypłaty na koniec każdego okresu z wysoką precyzją.

Jednak elastyczność w zakresie wprowadzania zmian oczekiwanych w różnych okresach stanowi plus, co sprawia, że nadaje się do wyceny opcji amerykańskich, w tym wycen z wcześniejszego wykonania.

Wartości obliczone przy użyciu modelu dwumianowego są ściśle zgodne z wartościami obliczonymi z innych powszechnie używanych modeli, takich jak Black-Scholes, co wskazuje na użyteczność i dokładność modeli dwumianowych do wyceny opcji. Dwumianowe modele wyceny mogą być opracowywane zgodnie z preferencjami handlowca i mogą działać jako alternatywa dla Black-Scholesa.

Spisu treści: